シュレ〖ディンガ〖数镍及

誊肌 †

誊肌
シュレ〖ディンガ〖数镍及
- 箕粗に巴赂しないシュレ〖ディンガ〖数镍及
  - 箕粗に巴赂しないシュレ〖ディンガ〖数镍及の豺
- 箕粗に巴赂するシュレ〖ディンガ〖数镍及
湿妄翁の滇め数
シュレ〖ディンガ〖数镍及が罢蹋するもの
ブランケット山绩
徊雇矢弗

シュレ〖ディンガ〖数镍及 †

箕粗に巴赂しないシュレ〖ディンガ〖数镍及 †

$\Psi~=~A~e^{i~$~kx~-~\omega~t$}$

　この侨瓢簇眶ψをxに簇して腮尸する。

$\frac{\partial~\Psi}{\partial~x}$
$=~\frac{\partial}{\partial~x}~A~e^{i~$~kx~-~\omega~t$}$
$=~ikA~^{i~$~kx~-~\omega~t$}$
$=~ik~\Psi$

　肌に尉收に $\hbar$ を齿けて、笨瓢翁を山す $p=\hbar~k$ を蝗って、腊妄すると肌の簇犯及が喇り惟つ。

$\frac{\hbar}{i}~\frac{\partial}{\partial~x}~\Psi~=~p~\Psi$

　この及の罢蹋は、侨瓢簇眶Ψに $\frac{\hbar}{i}~\frac{\partial}{\partial~x}$ という遍换を乖うと、宝收のように笨瓢翁pと侨瓢簇眶の齿け换になるということである。そこでこれを笨瓢翁を滇める遍换という罢蹋で笨瓢翁遍换灰と钙ぶ。

$\frac{\hbar}{i}~\frac{\partial}{\partial~x}~\Psi~=~p~\Psi$

　この簇犯及の尉收をxに簇して腮尸すると、焊收は肌のようになる。

$\frac{\hbar}{i}~\frac{\partial^2}{\partial^2~x}~\Psi$
$=\frac{\hbar}{i}~\cdot~\frac{\partial}{\partial~x}~ik\Psi$
$=\hbar~k~\frac{\partial~\Psi}{\partial~x}$
$=\hbar~k~\cdot~ik~\Psi$
$=i~\hbar~k^2~\Psi$

　これをxの2超腮尸を焊收に积っていき、腊妄すると肌のようになる。

$\frac{\partial^2}{\partial^2~x}~\Psi~=~-k^2~\Psi$ 　

　办数、笨瓢エネルギ〖Tは肌のように山される。

$T~=~\frac{p^2}{2m}$

　 $p=~\hbar~k$ の簇犯を蝗うと、肌のように今ける。

$T~=~\frac{p^2}{2m}~=~\frac{\hbar^2~k^2}{2m}$

　焊收をk2にして、腊妄すると肌のようになる。

$k^2~=~\frac{2mT}{\hbar^2}$

　これを及に洛掐すると、肌のようになる。

$\frac{\partial^2}{\partial^2~x}~\Psi~=~-~\frac{2mT}{\hbar^2}~\Psi$

　まとめると肌のようになる。

$-~\frac{\hbar^2}{2m}~\frac{\partial^2}{\partial^2~x}~\Psi~=~T~\Psi$

　これは侨瓢簇眶Ψに $-~\frac{\hbar^2}{2m}~\frac{\partial^2}{\partial^2~x}$ という遍换を乖うと、笨瓢エネルギ〖と侨瓢簇眶の齿け换になることを罢蹋する。

　链エネルギ〖Eは疤弥エネルギ〖Vと笨瓢エネルギ〖Tの下である。よってE=T+Vが喇り惟つ。これを蝗って、及を今き垂えると肌のようになる。

$-~\frac{\hbar^2}{2m}~\frac{\partial^2}{\partial^2~x}~\Psi~+~V~\Psi~=~E~\Psi$

　これに侨瓢簇眶 $\Psi~=~A~e^{i~$~kx~-~\omega~t$}$ を洛掐すると、肌のようになる。

$-~\frac{\hbar^2}{2m}~\frac{\partial^2}{\partial^2~x}~A~e^{i~$~kx~-~\omega~t$}~+~V~A~e^{i~$~kx~-~\omega~t$}~=~E~A~e^{i~$~kx~-~\omega~t$}$

　この及には箕粗に簇する腮尸はないので、侨瓢簇眶の面のe-iωtの灌を肌のようにxの腮尸から尸违できる。

$$-~\frac{\hbar^2}{2m}~\frac{\partial^2}{\partial^2~x}~A~e^{ikx}~+~V~A~e^{ikx}~$~e^{-i~\omega~t}~=~E~A~e^{ikx}~e^{-i~\omega~t}$

　よって、肌を豺けばよいことになる。

$-~\frac{\hbar^2}{2m}~\frac{\partial^2}{\partial^2~x}~A~e^{ikx}~+~V~A~e^{ikx}~=~E~A~e^{ikx}$

　ここで箕粗を崔まない侨瓢簇眶 $A~e^{ikx}$ をφと弥くと、肌のようになる。

$$~-~\frac{\hbar^2}{2m}~\frac{\partial^2}{\partial^2~x}+~V~$~\phi~=~E~\phi$

　この及の焊收の妈1灌は笨瓢エネルギ〖に、妈2灌は疤弥エネルギ〖に、宝收は链エネルギ〖に滦炳しているとイメ〖ジすると承えられるだろう。

　この及には箕粗が掐っていないので、箕粗に巴赂しないシュレ〖ディンガ〖数镍及と钙ばれる。

　この及の宝收はエネルギ〖Eにφを齿けたものである。つまり、エネルギ〖を滇める遍换灰は $-~\frac{\hbar^2}{2m}~\frac{\partial^2}{\partial^2~x}+~V$ ということになる。この遍换灰はハミルトニアンと钙ばれ、Hで山される。

　また、シュレ〖ディンガ〖数镍及を豺いて滇められる侨瓢簇眶を盖铜簇眶と钙ぶ。エネルギ〖Eはエネルギ〖盖铜猛と钙ばれる。

↑

箕粗に巴赂しないシュレ〖ディンガ〖数镍及の豺 †

　排灰の掐るポテンシャル∈疤弥エネルギ〖の尸邵の妨∷として版竿の妨をしている、版竿妨ポテンシャルというものを雇える。シュレ〖ディンガ〖数镍及では帽にVと弥いていたが、ポテンシャルエネルギ〖の络きさは眷疥xによって佰なるので、ポテンシャルエネルギ〖はxの簇眶としてV(x)と今く。ポテンシャルV(x)は肌のような及になる。

$V~$~x~$~=E_{B}~\:~$~x<0~$$
$V~$~x~$~=0~\:~$~0~\le~x~\le~L~$$
$V~$~x~$~=E_{B}~\:~$~L<x~$$

　排灰は井さいので脚蜗はあまり脚妥なのではなく、排操を积っているのでク〖ロン蜗∈排丹弄な蜗∷のほうが络きく漂く。排灰のエネルギ〖が惧数羹になっているので、もしプラスの排操で雇えるなら惧に乖くほどエネルギ〖が井さいということになる。

　ここで翁灰版竿が痰嘎に考い、篓ちEB=＄として雇える。簿に噬の光さが痰嘎でなければ、噬の面に排灰の侨が渴掐してしまう。これをトンネル跟蔡と钙ぶ。とりあえずここでは翁灰版竿が痰嘎に考いとすると、排灰が噬の面に渴掐しないので、版竿の面だけに赂哼するようになる。排灰の侨は焊宝の噬に了まれ、簿にぶつかっても姆ね手り、冯渡版竿の面に誓じ哈められる。この眷圭、版竿の面に奥年に赂哼する侨は年哼侨と钙ばれる。

　痰嘎に考い翁灰版竿面で奥年に赂哼する办戎侨墓の墓い侨瓢簇眶は、侨墓の染尸の墓さが版竿升Lに霹しいものになる。その肌にエネルギ〖の光い侨は、侨墓λが版竿升Lに霹しいものである。票屯に、あるエネルギ〖の年哼侨の侨墓をλnとすると、肌の簇犯が喇り惟つ排灰の侨が豺となる。

$n~\frac{\lambda_n}{2}~=~L$

∈nは赖の腊眶∷

　よって、版竿の面の侨瓢簇眶は、肌のようにサイン侨で山される。

$\Psi_{n}~=~A~\sin~$~\frac{2~\pi~x}{\lambda_{n}}~$~=~A~\sin~$~\frac{n~\pi~x}{L}~$$

　Aは慷升で、惮呈步掘凤を塔たすように疯める。惮呈步掘凤を塔たすので、肌が喇り惟つ。ただし、翁灰版竿のxの认跋は-＄×+＄ではなく、0×Lで雇えれば浇尸なのでこうなる。

${\Bigint}_{0}^{L}~\Psi^{*}_{n}~\Psi_{n}~dx~=1$

　ではこの惮呈步掘凤を塔たす犯眶Aを滇めてみる。

${\Bigint}_{0}^{L}~\Psi^{*}_{n}~\Psi_{n}~dx$
$=~{\Bigint}_{0}^{L}~A^{2}~\sin^{2}~$~\frac{n~\pi~x}{L}~dx$$
$=~\frac{A^2}{2}~{\Bigint}_{0}^{L}~$~1~-~\cos~\frac{2n~\pi~x}{L}~$~dx$
$=~\frac{A^2}{2}~$~\[~x~\]_{0}^{L}~-~\[~\frac{L}{2n~\pi}~\sin~~\frac{2n~\pi~x}{L}~\]_{0}^{L}~$$
$=~\frac{A^2}{2}~$~L~-~0~-~\frac{L}{2n~\pi}~\sin~2n~\pi~+\frac{L}{2n~\pi}~\sin~0~$$
$=~\frac{A^2}{2}~L$

　よって、 $\frac{A^2}{2}~L~=1$ より、慷升Aが滇められる。

$A~=~\sqrt{\frac{2}{L}}$

　ゆえに、惮呈步された侨瓢簇眶は肌のようになる。

$\Psi_{n}~=~\sqrt{\frac{2}{L}}~\sin~$~\frac{n~\pi~x}{L}~$$

∈nは赖の腊眶∷

　ついでに年哼侨が喇り惟つときの排灰のエネルギ〖も滇めてしまおう。年哼侨なので箕粗に巴赂しないシュレ〖ディンガ〖数镍及に、惧淡の侨瓢簇眶Ψnを洛掐すれば、エネルギ〖が滇まる。

　翁灰版竿の面では、ポテンシャルV=0とおいたので、笨瓢エネルギ〖の灌のみが荒る。よって、肌のようになる。

$-~\frac{\hbar^2}{2m}~\frac{\partial^2}{\partial^2~x}~\Psi~+~V~\Psi~=~E~\Psi$
$-~\frac{\hbar^2}{2m}~\frac{\partial^2}{\partial^2~x}~\sqrt{\frac{2}{L}}~\sin~$~\frac{n~\pi~x}{L}~$~=~E_{n}~\sqrt{\frac{2}{L}}~\sin~$~\frac{n~\pi~x}{L}~$$
$E_{n}~=~\frac{\hbar^2}{2m}~$~{\frac{n~\pi}{L}}^{2}~$$

　办戎布∈n=1)の年哼侨のエネルギ〖をE1とすると、肌が喇り惟つ。

$E_{1}~=~\frac{\hbar^2}{2m}~$~{\frac{\pi}{L}}^{2}~$$
$=\frac{\hbar^2}{2m}~$~{\frac{n~\pi}{L}}^{2}~\frac{1}{n^2}$$

　よって、肌が喇り惟つ。

$E_n~=~n^2~E_1$

　n2となっているので、2戎誊∈n=2∷の年哼侨のエネルギ〖はその4擒、3戎誊∈n=3∷の年哼侨のエネルギ〖はその9擒、∧となる。このときエネルギ〖は若び若びの猛を艰り、翁灰步される。これらの年哼侨の掘凤が喇惟し、排灰が奥年に赂哼するエネルギ〖をエネルギ〖洁疤という。泼に办戎エネルギ〖が你い洁疤は、办戎撵にあるので答撵洁疤と钙ばれる。またnの猛によって佰なる翁灰觉轮を山すので、このnを翁灰眶と钙ぶ。

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箕粗に巴赂するシュレ〖ディンガ〖数镍及 †

　まず侨瓢簇眶 $\Psi~=~A~e^{i~$~kx~-~\omega~t$}$ を箕粗tで腮尸する。

$\frac{\partial}{\partial~t}~\Psi$
$=~\frac{\partial}{\partial~t}~A~e^{i~$~kx~-~\omega~t$}$
$=~-~i~\omega~A~e^{i~$~kx~-~\omega~t$}$
$=~-~i~\omega~\Psi$

　これの尉收に $\hbar~i$ を齿けて、 $E~=~\hbar~\omega$ を蝗って腊妄すると、肌のようになる。

$i~\hbar~\frac{\partial}{\partial~t}~\Psi~=~E~\Psi$

　そして、 $-~\frac{\hbar^2}{2m}~\frac{\partial^2}{\partial^2~x}~\Psi~+~V~\Psi~=~E~\Psi$ より、肌が喇り惟つ。

$i~\hbar~\frac{\partial}{\partial~t}~\Psi~=~H~\Psi$

　この及は箕粗に巴赂するシュレ〖ディンガ〖数镍及と钙ばれる。もちろん箕粗に巴赂しないタイプより、办忍弄なので努脱认跋は弓い。

[输怪]络池で翁灰侠を池ぶ涩妥があるなら、箕粗に巴赂しないシュレ〖ディンガ〖数镍及と箕粗に巴赂するシュレ〖ディンガ〖数镍及の尉数とも芭淡する涩妥があるだろう。

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湿妄翁の滇め数 †

　笨瓢翁遍换灰と笨瓢翁において、肌の簇犯が喇り惟つことはすでに斧た。

$\frac{\hbar}{i}~\frac{\partial}{\partial~x}~\Psi~=~p~\Psi$

　この及を蝗って笨瓢翁を滇めるには、侨瓢簇眶Ψの剩燎鼎舔Ψ*を焊から齿けて、その姥尸をとればよい。

${\Bigint}_{-\infty}^{\infty}~\Psi^{*}~\frac{\hbar}{i}~\frac{\partial}{\partial~x}~\Psi~dx~=~{\Bigint}_{-\infty}^{\infty}~\Psi^{*}~p~\Psi~dx$

　宝收のpは $\hbar~k$ と办米し、これは眶猛である。エイチバ〖と侨眶は尉数とも眶猛だから。よってpは姥尸の嘲に叫せて、肌が喇り惟つ。

${\Bigint}_{-\infty}^{\infty}~\Psi^{*}~\frac{\hbar}{i}~\frac{\partial}{\partial~x}~\Psi~dx~=~p~{\Bigint}_{-\infty}^{\infty}~\Psi^{*}~\Psi~dx$

　宝收のΨ*Ψは、ある眷疥xに排灰が赂哼する澄唯∈赂哼澄唯という∷を山すとボルンによって妄豺された。x郝筛の-＄から+＄までのすべての赂哼澄唯を颅せば、100%♂排灰1改になるので、肌が喇り惟つ。

${\Bigint}_{-\infty}^{\infty}~\Psi^{*}~\Psi~dx~=~1$

　これを侨瓢簇眶の惮呈步掘凤と钙ぶ。よって、肌が喇り惟つ。

$p~=~{\Bigint}_{-\infty}^{\infty}~\Psi^{*}~\frac{\hbar}{i}~\frac{\partial}{\partial~x}~\Psi~dx$

　笨瓢翁遍换灰を剩燎鼎舔の侨瓢簇眶で洞んで姥尸を艰ると、その湿妄翁である笨瓢翁pを滇められた。このようにして评られる湿妄翁を袋略猛と钙ぶ。

　また票屯に、エネルギ〖の袋略猛を滇めるときもハミルトニアンを剩燎鼎舔の侨瓢簇眶で洞んで姥尸を艰ればよい。

${\Bigint}_{-\infty}^{\infty}~\Psi^{*}~$-~\frac{\hbar^2}{2m}~\frac{\partial^2}{\partial^2~x}+~V~$~\Psi~dx~=~{\Bigint}_{-\infty}^{\infty}~\Psi^{*}~E~\Psi~dx$

　宝收は肌のように恃妨できる。

${\Bigint}_{-\infty}^{\infty}~\Psi^{*}~E~\Psi~dx$
$=E~{\Bigint}_{-\infty}^{\infty}~\Psi^{*}~\Psi~dx$
$=E$

　笆惯遍换灰のときはハットをつけることにする。

毋¨pは帽に笨瓢翁の猛を山し、 $\hat{p}$ は笨瓢翁遍换灰を山す。

$\hat{p}~\equiv~\frac{\hbar}{i}~\frac{\partial}{\partial~x}$

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