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誊肌 †

誊肌
ピタゴラス眶
ピタゴラス眶の办忍寥
ピタゴラス眶に簇息する年妄
ピタゴラスの3逞妨の柒儡边
ピタゴラス眶と圭票及
徊雇矢弗

↑

ピタゴラス眶 †

[年盗]ピタゴラス眶
木逞话逞妨の收の墓さになるような极脸眶の寥はピタゴラス眶と钙ぶ。

[年盗](x,y,z)の3つの眶が燎であるとき、(x,y,z)は付幌弄という。

[年盗]恶挛弄な眶猛が涂えられて、それが付幌弄であるとき、その寥を付幌ピタゴラス眶と钙ぶ。

↑

ピタゴラス眶の办忍寥 †

↑

ピタゴラスによるピタゴラス眶 †

　プロクロスによれば、ピタゴラスは肌のピタゴラス眶を评たという。

[年妄]ピタゴラスによるピタゴラス眶
n¨瘩眶とする。このとき、ピタゴラス眶は肌の妨になる。
$(n,~\frac{n^2~-~1}{2},~\frac{n^2~+~1}{2})$

[毋]

n=3のとき、(3,4,5)
n=5のとき、(5,12,13)
n=7のとき、(7,24,25)
n=9のとき、(9,40,41)

〓

[输怪]ピタゴラスの冯蔡では、肌が喇り惟つ。

$\frac{n^2+1}{2}~-~\frac{n^2-1}{2}~=~1$

ただし、nは瘩眶である。

毋えば、肌の簇犯が喇り惟つ。

n=3のとき、(3,4,5)
- 5-4=1
n=5のとき、(5,12,13)
- 13-12=1
n=7のとき、(7,24,25)
- 25-24=1
n=9のとき、(9,40,41)
- 41-40=1

この拉剂により、ピタゴラスによる豺は疯まる。篓ち、数镍及x2+y2=z2を塔たす极脸眶の豺(x,y,z)で、z-y=1となるものを滇めるには、肌を豺けばよい。

x2+y2=z2
x2+y2=(y+1)2　∈㈣z-y=1より、z=y+1∷
x2+y2=y2+2y+1
x2=2y+1

よって、xは瘩眶である∈㈣饿眶の2捐は饿眶、瘩眶の2捐は瘩眶だから∷。

nは瘩眶なので、x=nとおける。

すると、 $y=\frac{n^2~-1}{2},z=\frac{n^2+1}{2}$ を评る。　〓

↑

プラトンによるピタゴラス眶 †

　稿にプラトンは饿眶2mから叫券して、肌のピタゴラス眶を评た。

[年妄]プラトンによるピタゴラス眶
m¨腊眶とする。このとき、ピタゴラス眶は肌の妨になる。
$(2m,~m^2~-~1,~m^2~+~1)$

[毋]

m=2のとき、(4,3,5)
m=3のとき、(6,8,10)
m=4のとき、(8,15,17)
m=5のとき、(10,24,26)

〓

[输怪]プラトンによるピタゴラス眶で塑剂弄に糠しい寥は、mが饿眶の眷圭だけである。

毋えば、m=3のときのピタゴラス眶(6,8,10)は、(3,4,5)を2擒したものである。　〓

[输怪]プラトンの冯蔡では、肌が喇り惟つ。

$(m^2+1)-(m^2-1)=2$

ただし、mは饿眶である。

毋えば、肌の簇犯が喇り惟つ。

m=2のとき、(4,3,5)
- 5-3=2
m=3のとき、(6,8,10)
- 10-8=2
m=4のとき、(8,15,17)
- 17-15=2
m=5のとき、(10,24,26)
- 26-24=2

この拉剂により、プラトンによる豺は疯まる。篓ち、数镍及x2+y2=z2を塔たす极脸眶の豺(x,y,z)で、z-y=2となるものを滇めるには、肌を豺けばよい。

x2+y2=z2
x2+y2=(y+2)2　∈㈣z-y=2より、z=y+2∷
x2+y2=y2+4y2+4
x2=4y2+4
x2=4(y2+1)

よって、xは饿眶である∈㈣饿眶の2捐は饿眶、瘩眶の2捐は瘩眶だから∷。

mは饿眶なので、x=2mとおける。

すると、 $y=m^2-1,z=m^2+1$ を评る。　〓

↑

∝付侠≠によるピタゴラス眶 †

　ユ〖クリッドの∝付侠≠の妈2船の炭玛5は、肌のようなものである。

[年妄]俐尸AB惧に面看Cと、もう办爬Dをとる。ADとBDを收とする墓数妨と、CDを办收とする赖数妨の烫姥を圭わせると、ACを办收とする赖数妨の烫姥に霹しい。

AD=a,BD=bとおけば、肌の簇犯を罢蹋する。

$ab+~(\frac{a-b}{2})^2~=~(\frac{a+b}{2})^2$ 　(*)

[输怪]∝付侠≠ではこのような洛眶弄な冯蔡も傣部の年妄として揭べられ、傣部池弄沮汤が涂えられている。これがギリシャ眶池の泼魔の1つである。　〓

[输怪](*)において、nを瘩眶の极脸眶とし、a=n2,b=1とすると、肌のようになる。

$n^2~+~(\frac{n^2-1}{2})^2~=~(\frac{n^2+1}{2})^2$

よって、ピタゴラスの冯蔡を评る。　〓

[输怪](*)において、mを饿眶の极脸眶とし、a=2m2,b=2とすると、肌のようになる。

$(2m)^2~+~(m^2~-~1)^2~=~(m^2~+~1)^2$

よって、プラトンの冯蔡を评る。　〓

[输怪]极脸眶k,p,qをとり、(*)で $a=kp^2,b=kq^2$ とすれば、肌のようになる。

$(kpq)^2~+~(\frac{kp^2~-~kq^2}{2})^2~=~(\frac{kp^2~+~kq^2}{2})^2$

kp2とkq2が鼎に瘩眶か、鼎に饿眶ならば、&mimetex("(kpq, \frac{kp^2 - kq^2}{2}, \frac{kp^2 + kq^2}{2})")はピタゴラス眶である。　〓

↑

ピタゴラス眶に簇息する年妄 †

[年妄]m,n,kを腊眶とする。
[1] $a=k(m^2~n^2),~b=2kmn,~c=~k(m^2+n^2)$ とおくと、 $a^2+b^2=c^2$ である。
[2] $a^2+b^2=c^2$ を塔たす腊眶の寥(a,b,c)が涂えられたとき、その呵络给腆眶をkとすると、 $a=k(m^2~n^2),~b=2kmn,~c=~k(m^2+n^2)$ のように今け、その狠mとnは高いに燎で、办数は饿眶、戮数は瘩眶である。

[沮汤](a,b,c)を

x2+y2=z2　(*)

の腊眶豺、kを腊眶とすると(ka,kb,kc)も(*)の豺である。

もし、(ka,kb,kc)が豺なら、(a,b,c)も豺である。

したがって、呵络给腆眶が1であるような腊眶豺を疯年すればよい。

笆稿は、(a,b,c)は(*)の腊眶豺で、呵络给腆眶が1と簿年する。

[A][1]を绩す。

(i)a,bが鼎に饿眶はありえないことを绩す。

a,bが鼎に饿眶と簿年すると、(*)より、cも饿眶になり、呵络给腆眶が1という簿年に瓤する。

(ii)a,bが鼎に瘩眶はあり评ないことを绩す。

a,bが鼎に瘩眶と簿年すると、(*)より、cは饿眶である∈㈣(*)より∷。
そこで、cは2c1と今ける。
よって、∈宝收∷=∈c2=4c12は4で充り磊れる。

办数、a=2a1+1,b=2b1+1と今ける。
よって、∈焊收∷=a2+b2=4(a12+a1+b12+b1)+2

焊收は4で充り磊れないので、谭解が栏じた。

(i)(ii)より、笆稿はaを瘩眶、bを饿眶であるとする。
また、(*)より、cは瘩眶になる。

$a^2~+~b^2~=~c^2$
$b^2~=~c^2~-~a^2$
$b^2~=~(c+a)(c-a)$ 　(**)

a,cが鼎に瘩眶なので、b,c+a,c-aはすべて饿眶である。
そこで、肌のように今き木せる。

$(\frac{b}{2})^2~=~\frac{c+a}{2}~\cdot~\frac{c-a}{2}$ 　(***)

ここで、 $\frac{c+a}{2}~,~\frac{c-a}{2}$ は高いに燎である。
なぜならば、尉数が燎眶pで充れると、その下c、汗aもpで充れ、(**)によりbもpで充れることになり谭解するからである。

(***)の焊收は士数眶であるから、宝收も士数眶である。
そのとき、 $\frac{c+a}{2}~,~\frac{c-a}{2}$ はそれぞれ士数眶になる。
なぜならば、燎傍眶尸豺の办罢拉により、b/2を充る燎眶で、 $\frac{c+a}{2}~,~\frac{c-a}{2}$ を充るものが赂哼することになり谭解が栏じるからである。
よって、 $\frac{c+a}{2}=m^2,~\frac{c-a}{2}=n^2$ と今ける。

そうすると、 $c=m^2+n^2,a=m^2-n^2,b=2mn$ となる。
よって、 $\frac{c+a}{2}~,~\frac{c-a}{2}$ は高いに燎なので、m,nも高いに燎である。

[B][2]を绩す。

b=2mnは饿眶なので、aは瘩眶でなければならない。
なぜならば、aが饿眶だと、cも饿眶になり、2がa,b,cの给腆眶になるからである。

a=m2-n2だから、aが瘩眶なら、mとnの办数が饿眶、戮数が瘩眶である。　ⅱ

[年妄]ピタゴラスの数镍及x2+y2=z2の豺において、x,y,zの警なくとも1つは3の擒眶であり、警なくとも1つは4の擒眶であり、警なくとも1つは5の擒眶である。
泼に、x,yの办数は饿眶である。

[沮汤][1]x,y,zの警なくとも1つは3の擒眶であることを绩す。

x,y,zのいずれも3の擒眶でないと簿年する。

それらはそれぞれ3k∞1の妨であり、その士数は肌のように纷换できる。

(3k∞1)2=9k2∞6k+1⑨1 (mod 3)

そのため、圭票及x2+y2=z2 (mod 3)において、焊收は2、宝收は1となり、谭解する。

よって、x,y,zの警なくとも1つは3の擒眶である。

[2]x,y,zの警なくとも1つは4の擒眶であることを绩す。

x,y,zのいずれも4の擒眶でないと簿年する。

それらはそれぞれ4k∞1 or 4k+2の妨をしている。

このとき、xまたはyの警なくとも办数は饿眶である。
なぜならば、鼎に瘩眶ならば、圭票及x2+y2=z2 (mod 4)において、焊收は2となり、これはzを饿眶としても瘩眶としても喇惟しないからである。
よって、yは4k+2の妨をしていると簿年してよい。

このとき、肌の纷换冯蔡を寥み圭わせる。

(4k∞1)2=16k2∞8k+1⑨1 (mod 8)
(4k+2)2=16k2+16k+4⑨4 (mod 8)

すると、x2+y2=z2 (mod 8)の焊收は5または0、宝收は1または4となり、谭解する。

よって、x,y,zの警なくとも1つは4の擒眶である。

[3]x,y,zの警なくとも1つは5の擒眶であることを绩す。

x,y,zのいずれも5の擒眶でないと簿年する。

それらはそれぞれ5k∞1 or 5k∞2の妨である。

これらの士数は肌のように纷换できる。

(5k∞1)2=25k2∞10k+1⑨1 (mod 5)
(5k∞2)2=25k2∞20k+4⑨4 (mod 5)

すると、x2+y2=z2 (mod 5)において、焊收の材墙拉として2,0,3があり、宝收の材墙拉として1,4となる。これは谭解である。

よって、x,y,zの警なくとも1つは5の擒眶である。　煌逞

[废]ピタゴラスの3逞妨において、肌が喇り惟つ。
(1)xyは饿眶である。
よって、3逞妨の烫姥は腊眶である。
(2)xyzは60の擒眶である。

　ピタゴラスの数镍及において、xとyの呵络给腆眶がgならば、あらかじめ数镍及の尉收をg2で充っておくことができる。そのため、呵介からxとyは高いに燎であると簿年しても办忍拉を己われない。
　この掘凤を烧けた眷圭のピタゴラスの3逞妨を肌のように年盗する。

[年盗](x,y)=1の眷圭のピタゴラスの3逞妨を付幌弄であるという。

　付幌弄なピタゴラスの3逞妨を雇えることで、陵击橙络を近嘲することができる。

[年妄]ブラ〖マグプタの给及
ピタゴラスの数镍及x2+y2=z2,(x,y)=1の豺は、扦罢の2つの赖腊眶m,n∈ただし、m′nかつ高いに燎とする∷で、办数が饿眶、戮数が瘩眶であるものに滦して、肌のようにおけば、痰眶に侯ることができる。

x=m2-n2
y=2mn
z=m2+n2

[沮汤]

[1]⑼を绩す。

xとyの办数は饿眶、戮数は瘩眶であるから、办忍拉を己うことなく、xは瘩眶、yは饿眶と簿年してよい。
このとき、zは瘩眶である。

このとき、笆布の及において、宝收の2つの傍眶は高いに燎である。

$x^2~=~z^2~-~y^2~=~(z+y)(z-y)$

なぜならば、もしz+yとz-yの呵络给腆眶をgとすれば、gは瘩眶である。しかも、z+yとz-yの下2zと汗2yの给腆眶になる。すると、gはz,y,zの给腆眶になる。これは付幌弄という簿年に瓤するため、z+yとz-yは高いに燎である。

よって、 $z^2~-~y^2~=~(z+y)(z-y)$ において、焊收は窗链士数眶であるから、宝收の傍眶z+yとz-yのそれぞれが窗链士数眶でなければならない。

そこで、 $z+y=u^2,~z-y=v^2~\,~(u>v)$ とおくことができる。

u,vは瘩眶なので、腊眶m,n∈m′n∷で肌のように今ける。

$m=\frac{u+v}{2},~n=\frac{u-v}{2}$

これをu,vについて豺くと肌のようになる。

$u=m+n,~v=m-n$

このとき、x,y,zは肌のように纷换できる。

$x=uv=(m+n)(m-n)=m^2~-~n^2$
$y=\frac{u^2~-~v^2}{2}~=~2mn$
$z=\frac{u^2~+~v^2}{2}~=~m^2~+~n^2$

ここで、u,vは鼎に瘩眶なので、mとnの办数は饿眶、戮数は瘩眶である。

また、(u,v)=1より、(m,n)=1となる。

[2]を绩す。

$x=m^2-n^2,y=2mn,z=m^2+n^2$ がピタゴラスの数镍及を塔たすことは汤らかである。　ⅱ

[侍沮]

[1]⑼を绩す。

ピタゴラスの数镍及x2+y2=1,(x,y)=1において、xを瘩眶、yを饿眶とする。

撵收xに滦して、夹收zのなす逞をθ(ラジアン∷とし、 $\tan~\frac{\theta}{2}~=~t$ とおく。

すると、conθ、sinθは肌のようにtで寝拆恃眶で山绩できる。

$\cos~\theta$
$=2~\cos^2~\frac{\theta}{2}~-1$ 　∈㈣2擒逞の给及∷
$=\frac{2}{1+t^2}~-1$ 　∈㈣ $\tan~\frac{\theta}{2}~=~t$ ∷
$=\frac{1-t^2}{1+t^2}$

$\sin~\theta$
$=2\sin~\frac{\theta}{2}~\cos~\frac{\theta}{2}$
$=\frac{2t}{1+t^2}$ 　∈㈣ $\tan~\frac{\theta}{2}~=~t$ ∷

また、conθ、sinθの年盗より、肌が喇り惟つ。

$\cos~\theta~=~\frac{x}{z}$

$\sin~\theta~=~\frac{y}{z}$

よって、息孺 $x:y:z$ を雇えると、肌のように纷换できる。

$x:y:z$
$=\frac{x}{z}~:~\frac{y}{z}~:~1$ 　∈㈣1/zをかける∷
$=1-t^2~:~2t~:~1+t^2$
$=1-\frac{n^2}{m^2}~:~\frac{2n}{m}~:~1~+~\frac{n^2}{m^2}$ 　∈㈣x,y,zは高いに燎な腊眶なので、 $t=\frac{n}{m}$ ∈贷腆尸眶、m′n∷とおくこと∷
$=~\frac{m^2-n^2}{m^2}~:~\frac{2n}{m}~:~\frac{m^2~+~n^2}{m^2}$
$=~m^2-n^2:~2nm~:~m^2~+~n^2$ 　∈㈣m2をかけて、尸熟を失う∷

ゆえに、肌が喇り惟つ。

x=m2-n2
y=2mn
z=m2+n2
m′n
(m,n)=1
$m~\not{\equiv}~n~\,~\pmod{2}$

[2]を绩す。

汤らかに喇り惟つ。　ⅱ

[输怪]ブラ〖マグプタの给及のおいて、(x,y)=1という掘凤がない眷圭の办忍豺は、gを扦罢の赖腊眶として、肌のようにすればよい。

x=g(m2-n2)
y=2gmn
z=g(m2+n2)

〓

[年妄]ブラ〖マグプタ
付幌弄なピタゴラスの3逞妨は痰眶に赂哼する。

↑

ピタゴラスの3逞妨の柒儡边 †

　3收が3,4,5の木逞话逞妨には染仿1の边が柒儡する。また、3收が5,12,13の木逞话逞妨には染仿2の边が柒儡する。
　このように、办忍にピタゴラスの3逞妨に柒儡する边の染仿は腊眶である。

[年妄]木逞3逞妨に柒儡する边の染仿は、肌の及で评られる∈ただし、x2+y2=z2∷。
$r~=~\frac{xy}{x+y+z}$
とくに、ピタゴラスの3逞妨においては、柒儡边の染仿rは腊眶になる。篓ち、x+y+zはxyの腆眶になる。

[沮汤]

[1]涟染を绩す。

木逞话逞妨ABCの柒儡边の面看をOとすれば、肌が喇り惟つ。

$\bigtriangleup~ABC~=~\bigtriangleup~OBC~+~\bigtriangleup~OCA~+~\bigtriangleup~OAB$
$\frac{1}{2}xy~=~\frac{1}{2}~r~(x+y+z)$
¤ $r=\frac{xy}{x+y+z}$

[2]稿染を绩す。

もし(x,y)=gのときは、rもg擒すればよいので、付幌弄なピタゴラスの话逞妨について沮汤すれば浇尸である。

付幌弄なピタゴラスの话逞妨なので、ブラ〖マグプタの给及のx,y,zを、惧淡及に洛掐すると、肌のように纷换できる。

$r$
$=\frac{xy}{x+y+z}$
$=\frac{(m^2~-~n^2)~\cdot~mn}{2m^2+2mn}$ 　∈㈣ブラ〖マグプタの给及より、x=m2-n2,y=2mn,z=m2+n2∷
$=\frac{2mn(m+n)(m-n)}{2m(m+n)}$
$=n(m-n)$

よって、m,nは腊眶なので、rは腊眶である。　ⅱ

[年妄]木逞话逞妨の烫姥をS、件をsとすれば、肌が喇り惟つ。
$S=\frac{1}{2}~rs$

[输怪]これらをm,nで山すと、肌が喇り惟つ。

S=mn(m+n)(m-n)
r=n(m-n)
s=2m(m+n)

ここで、Sの宝收の傍眶のうち、mまたはnのどちらかが饿眶で、戮の3つは瘩眶である。

これらの4つの傍眶は滦ごとに高いに燎になる。　〓

↑

ピタゴラス眶と圭票及 †

[年妄]付幌弄なピタゴラス眶においては、肌が喇り惟つ。
z⑨1 (mod 4)

[沮汤]z=m2+n2において、mとnは饿瘩拉が佰なるから、m=2k,n=2k'+1∈k,k'は腊眶∷とおける。

$z$
$=m^2~+~n^2$
$=(2k)^2~+~(2k'+1)^2$
$=4k^2~+~4k'^2~+~4k'~+~1$
$\equiv~1~\,~\pmod{4}$ 　ⅱ

[输怪]この肩磨の嫡は喇り惟たない。

毋えば、9や21∈4で充って1途る腊眶∷を夹收とするピタゴラスの3逞妨は赂哼しない。　〓

[输怪]この年妄において、付幌弄という掘凤は涩寇である。

そうでなければ、尉收がg擒されてしまうからである。　〓

[年妄]zは1でない赖の腊眶とする。
このとき、zが付幌弄なピタゴラスの3逞妨の夹收であるための涩妥浇尸掘凤は、zのすべての潦傍眶がp⑨1 (mod 4)を塔たすことである。

[沮汤]

[1]⑼を绩す。

まず、zが付幌弄なピタゴラスの3逞妨の夹收であるとする。

zは瘩眶であるため、燎傍眶pはすべて瘩眶である。

$z~\equiv~0~\,~\pmod{p}$ 　∈pはzの燎傍眶であるから∷
$m^2+n^2~\equiv~0~\,~\pmod{p}$ 　∈㈣ブラ〖マグプタの给及より、z=m2+n2が喇り惟つから∷
$(mn')^2~+~1~\equiv~0~~\,~\pmod{p}$ 　∈㈣mとnは高いに燎であるから、mとnの办数はpの擒眶ではなく、恕pに簇して赖搂である。そこで、毋えば、nは恕pに簇する嫡傅n'を积つと簿年できる。∷